No limite clássico a relação entre presença de campos elétricos e magnéticos e a força por eles exercida sobre um corpo eletricamente carregado é descrita pela equação de força de Lorentz
\[F=q(E+v \times B)\]Então é possível encontrar uma “versão relativística” da força de Lorentz. Em geral uma forma análoga seria
\[\frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{q}{c}F_\beta^\mu \eta^\beta\]onde
Pode-se escrever o primeiro termo de forma mais conveniente, primeiro aplicando a regra do produto
\[\frac{dp^\alpha}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}m\eta^\alpha=\frac{dm}{d\tau}\eta^\alpha + m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\]e daí multiplicando tudo por $\eta_\alpha$
\[\frac{dp^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha=\frac{dm}{d\tau}\eta^\alpha\eta_\alpha + m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha.\]Se a massa é invariante por transformações de Lorentz, então
\[\frac{dp^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha=m\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha.\]Por outro lado:
\[\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\alpha \eta_\alpha \right)=\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha + \eta^\alpha\frac{d\eta_\alpha}{d\tau}=2\frac{d\eta^\alpha}{d\tau}\eta_\alpha,\]Mas como os objetos estudados são campos eletromagnéticos no vácuo; em todo referencial a velocidade de propagação é igual a $c$, então
\[\eta^2=-c^2 \Rightarrow \frac{d}{d\tau}\eta^2=\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\alpha \eta_\alpha \right)=0.\]Juntando tudo:
\[\frac{dp^\mu}{d\tau}\eta_\mu=m\frac{d\eta^\mu}{d\tau}\eta_\mu=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}\left( \eta^\mu \eta_\mu \right)=0.\]Então, da equação inicial, segue que
\[\frac{dp^\mu}{d\tau}\eta_\mu = \frac{q}{c} \boxed{F_\beta^\mu \eta^\beta \eta_\mu = 0}.\].
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(a ser desenvolvido)
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É possível usar o tensor métrico
\[g_{\mu\nu} \equiv \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = g^{\mu\nu}\]reescrever a equação destacada da seguinte forma
\[F^{\beta \mu} \eta_\beta \eta_\mu=0.\]Das propriedades dos tensores, algo na forma
\[a_\alpha a_\nu\]é um tensor chamado simétrico. Então, para essa última igualdade valer sempre é preciso que
\[F^{\beta\mu}\]seja um tensor antissimetrico. A propriedade especial de um tensor antissimétrico é
\[\chi^{ij}=-\chi^{ji}.\]Comparando as forças de Lorentz clássica e tensorial
\[F=q(E+v \times B)\]e
\[\frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{q}{c}F_\beta^\mu \eta^\beta,\]resta buscar as condições para que as duas sejam iguais. Para isso é conveniente identificar o produto vetorial como
\[(\nabla \times B)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j B_k\]onde $\epsilon^{ijk}$ é o “símbolo de Levi-Civita”.
Começando pelos termos da esquerda:
\[\frac{dp^{i}}{d\tau}=\frac{dp^{i}}{\frac{dt}{\gamma} }=\gamma \frac{dp^{i}}{dt}.\]Então
\[\frac{dp^i}{dt} = q(E^i + \epsilon_{ijk}v^j B^k) \qquad \text{(classico)}\] \[\frac{dp^i}{d\tau} = \gamma \frac{dp^{i}}{dt} = \frac{q}{c} \left( F^{i}_{\alpha}\eta^{\alpha} \right) = \frac{q}{c} \left( F^{i}_{0}\eta^{0} + F^{i}_{j}\eta^{j} \right), \qquad \text{(relativistico)}\]daí
\[\not{\gamma} \frac{dp^{i}}{dt} = \frac{q}{\not{c}} F^{i}_{0}\not{\gamma}\not{c} + \frac{q}{c} F^{i}_{j}\not{\gamma}v^{j}.\]Então comparando as formas clássica e relativística:
\[\boxed{F^{i}_0=E^i}\]e
\[\boxed{F^{i}_j=c\epsilon^{ijk}B^{k}}.\]A última equação não está tensorialmente correta. É preciso que os índices “combinem” e nela nota-se que o índice $j$ de $F$ não está na mesma posição que o de $\epsilon$. Novamente usa-se o tensor métrico para “subir os índices”:
\[F^{i0}=F^{i}_{0}g^{00}=-E^i\]e
\[F^{ij}=F^{i}_{\rho}g^{\rho j}=c\epsilon^{ijk}B^{k} \qquad (j \neq 0)\]um exemplo para perceber melhor o que ocorre na última igualdade é o seguinte:
\[\begin{aligned} F^{12} &= F^{1}_{2} g^{12}\\ &= c\epsilon^{12k}B^{k} g^{12}\\ &=c \not{\epsilon^{121}} B^{1} g^{12} + c \not{\epsilon^{122}} B^{2} g^{12} + c\epsilon^{123}B^{3} g^{12}\\ &= c\epsilon^{123}B^{3}. \end{aligned}\]Então, pela antissimetria de $F^{\alpha \beta}$
\[F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & \mp F^{10} & \mp F^{20} & \mp F^{30}\\ \pm F^{10} & 0 & \mp F^{21} & \mp F^{31}\\ \pm F^{20} & \pm F^{21} & 0 & \mp F^{32}\\ \pm F^{30} & \pm F^{31} & \pm F^{32} & 0 \end{pmatrix}\]Como $F^{i0}=-E^i$, então
\[F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z\\ -E_x & 0 & \mp F^{21} & \mp F^{31}\\ -E_y & \pm F^{21} & 0 & \mp F^{32}\\ -E_z & \pm F^{31} & \pm F^{32} & 0 \end{pmatrix}\]Por $F^{ij}=c\epsilon^{ijk}B^{k}$, tendo em mente as propriedades do símbolo de levi-civita
\[\boxed{F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z\\ -E_x & 0 & cB_z & -cB_y\\ -E_y & -cB_z & 0 & cB_x\\ -E_z & cB_y & -cB_x & 0 \end{pmatrix} }.\]Então se o tensor de campo $F^{\mu\nu}$ tiver a forma da equação anterior, a forma relativística da força de Lorentz é análoga à forma clássica. É possível partir desse ponto e desenvolver alguns outros resultados a fim de reescrever as equações de Maxwell em forma tensorial.
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